✅ QCM Dénombrements de référence
✅ QCM Dénombrements de référence
- Type : Test / QCM Moodle
- Lien Moodle : https://moodle.epita.fr/mod/quiz/view.php?id=64165
- Règles & Paramètres :
- Méthode d’évaluation : Dernière tentative
📋 Consignes & Présentation
Méthode d’évaluation : Dernière tentative
📝 Questions & Corrigé de la tentative
Question1 (Note de 3,00 sur 3,00)
Une classe de l'EPITA est composée de $40$ étudiants. On a compté que dans cette classe :
- Tous les étudiants parlent au moins une des deux langues, anglais ou espagnol.
- $35$ d'entre eux parlent l'anglais.
- $20$ d'entre eux parlent l'espagnol.
Combien d'étudiants parlent à la fois l'anglais et l'espagnol ?
Correction / Feedback : Soient les ensembles suivants :
- $C$ , l'ensemble des étudiants de la classe,
- $A$ , l'ensemble des étudiants de la classe parlant anglais,
- $E$ , l'ensemble des étudiants de la classe parlant espagnol.
On sait que $A\cup E=C$ , donc $\text{Card}(A\cup E) = \text{Card}(C) = 40$
De plus, on sait que $\text{Card}(A\cup E) = \text{Card}(A) + \text{Card}(E) - \text{Card}(A\cap E)$ .
Ainsi, $\text{Card}(A\cap E)= \text{Card}(A) + \text{Card}(E) - \text{Card}(A\cup E) = 35+20-40 = 15$ .
La réponse correcte est : 15
Correct
Note pour cet envoi : 3,00/3,00.
Question2 (Note de 1,00 sur 3,00)
Correction / Feedback : 1. Dans le premier cas, on tire les boules successivement donc il y a un ordre. Le résultat est un triplet $(x_1,x_2,x_3)$ dont les composantes sont les numéros des trois boules. Comme on tire sans remises, une même boule ne peut pas être tirée deux fois. Il n'y a donc pas de répétitions.
Ainsi, le nombre de résultats possibles est : $\mathcal A_{10}^3 = \dfrac{10!}{7!}=10\times 9\times 8 = 720$ .
2. Dans le second cas, il y a toujours un ordre mais, comme les boules sont tirées avec remises, il peut y avoir des répétitions.
Ainsi, le nombre de résultats possibles est : $10\times 10\times 10 = 1000$ .
3. Dans le troisième cas, il n'y a pas d'ordre de tirage puisque les boules sont toutes tirées en même temps. Il n'y a pas non plus de répétitions possibles, le résultat est un ensemble à $3$ éléments $\{x_1,x_2,x_3\}$ , plus précisément un sous-ensemble de $[\![1,10]\!]$ .
Ainsi, le nombre de résultats possibles est : $\displaystyle\binom{10}{3} = \dfrac{10!}{7!\,3!} = \dfrac{10\times 9 \times 8}{3!} = 120$ .
Correct
Points pour cet envoi : 3,00/3,00. En tenant compte des tentatives précédentes, cela donne 1,00/3,00.
Question3 (Note de 3,00 sur 3,00)
Correction / Feedback : Dans le premier cas, il s'agit de compter les permutations de l'ensemble $\{m,a,t,h\}$ . Comme cet ensemble est constitué de $4$ éléments, ce nombre de permutations est $4!=24$ .
De même, dans le second cas, on compte les permutations de l'ensemble $\{g,é,n,i,a,l\}$ . Il y en a $6!=720$ .
Le troisième cas est plus corsé car la lettre s apparait deux fois dans le mot assez. On procède par étapes :
- Dans un premier temps, on distingue les deux s : s1 et s2. On compte les permutations de l'ensemble $\{a,s_1,s_2,e,z\}$ . Comme cet ensemble a $5$ éléments, ce nombre de permutations est $5!$ .
- Dans un second temps, on regroupe les anagrammes comptés plusieurs fois. Par exemple, s1as2ze et s2as1ze correspondent tous les deux au même anagramme sasze. Cet anagrammes est compté autant de fois qu'il y a de permutations dans $\{s_1,s_2\}$ , donc $2!$ fois. Il en est de même pour tous les anagrammes possibles.
- Finalement, le nombre d'anagrammes du mot assez est donc $\dfrac{5!}{2!}=60$ .
Correct
Note pour cet envoi : 3,00/3,00.